梅森素数：数论中的钻石

【光明网科技】众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等。2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2^p-1”(其中指数p也是素数)的形式。这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究；而17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林 梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将2^p-1型的素数称为“梅森素数”(Mersenne Primes)。迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。这种素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。由于梅森素数珍奇而迷人，它被人们誉为“数论中的钻石”。

　　貌似简单 探究极难

梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已；法国大数学家拉普拉斯说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”

探究梅森素数不仅极富挑战性，而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数2^11213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。而发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享这一重大成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“2^11213-1是个素数”的邮戳。

随着指数p值的增大，每一个梅森素数的产生都艰辛无比；而数学家和业余数学爱好者仍乐此不疲，激烈竞争。例如，在1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家大卫 史洛温斯基和哈里 纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数2^23209-1时，有人告诉他们：在两星期前美国加州的高中生兰登 诺尔就已经给出了同样结果。为此他们更加发奋努力，花了一个半月的时间，使用Cray-1型计算机找到了新的梅森素数2^44497-1；该数有13395位，是当时已知的最大素数。这件事成了当时不少主流媒体的头条新闻。后来史洛温斯基还独自发现了6个梅森素数，因而被人们称为“素数大王”。

大胆猜测 重大发现

人们在寻找梅森素数的同时，对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看，它们在正整数中的分布时疏时密、极不规则，因此研究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。英、法、德、美等国的数学家都曾分别给出过有关梅森素数分布的猜测，但他们的猜测都以近似表达式给出，而且与实际情况的接近程度均难如人意。